,
,
(t), где t – новая переменная, а 
(1)
(x), где t – новая переменная. В этом случае формула замены переменной имеет вид: 
ПрактическАЯ РАБОТА№ 8
Тема: Техника интегрирования. Интегрирование методом замены переменной. Интегрирование по частям.
Цели:
научиться применять метод замены переменной при вычислении неопределенного интеграла
Оснащение занятия: конспект лекций.
Критерии оценок
оценка «5» ставится за верное выполнение всех заданий работы
оценка «4» ставится за выполнение задания 1 и верное решение любых восьми примеров из задания 2.
оценка «3» ставится за выполнение задания 1 и верное решение любых шести примеров из задания 2.
Порядок выполнения работы
Задание 1.
- Ознакомиться с лекциями № 10 и № 11
- Выписать тетрадь примеры на применение метода замены переменной и метода интегрирования по частям при вычислении неопределенного интеграла
Задание 2.
Решить примеры для самостоятельного решения
Лекция 10.
Тема «Неопределенный интеграл. Метод замены переменной»
В основе интегрирования методом замены переменной лежит свойство инвариантности формул интегрирования, которое заключается в следующем: если
,
то 
,
где u(x) – произвольная дифференцируемая функция от х.
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок следующих двух типов:
1) х = 
(t), где t – новая переменная, а (t) – непрерывно дифференцируемая функция. В этом случае формула замены переменной такова:
(1)
Функцию (t) стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы (1) приобрела более удобный для интегрирования вид;
2) t = 
(x), где t – новая переменная. В этом случае формула замены переменной имеет вид: 
Примеры.
1. 
Решение. Данный интеграл окажется табличным, если под знаком дифференциала будет находиться аргумент 3х подынтегральной функции 
. Так как d(3x) = 3dx, то
= 
Следовательно, подстановка 3х = t приводит рассматриваемый интеграл к табличному: = = 
= -
cost + C
Возвращаясь к старой переменной х, окончательно получим
= -cos3х + C
2. 
Решение. Так как d(
) = 3х2dx, то
Полагая = t, получим
+ C = 
+ C.
3. 
Решение. Поскольку d(sinx) = cosx, имеем
Поэтому, используя подстановку t = 
, приходим к табличному интегралу:
= 
= 
= 
4. 
Из соотношения d(
получаем
= 
Воспользовавшись подстановкой t = 
, приходим к табличному интегралу:
= 
= arcsin 
5. 
Решение. Здесь используем подстановку 
. Отсюда х = t3, dx = 3t2dt и, следовательно по формуле (1) находим
= 
= 3sin t + C
Возвращаясь к старой переменной х, получим
= 3sin
+ C
6. 
Применим подстановку x = 
. Тогда dx = - 
, 
= 
, t = 
По формуле (1) находим
= - 
= - 
= - ln
+ C
Возвращаясь к старой переменной х, получим
- ln
+ C = - ln
+ C = -ln
+ x
Примеры для самостоятельного решения
Вычислите интегралы, используя метод замены переменной:
1. 
2. 
3. 
4.
5.
6. 
Лекция 11.
Тема «Неопределенный интеграл. Интегрирование по частям».
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле
(1)
где 
и 
- непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью формулы (1) отыскание интеграла
сводится к нахождению другого интеграла
, её применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.
При этом в качестве берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве 
- та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
Так при нахождении интегралов вида
за следует принять многочлен
, а за - соответственно выражения
, 
; при отыскании интегралов вида
за принимаются соответственно функции 
, а за - выражение 
.
Примеры.
1. 
. Положим = lnx, = 
, откуда
du = 
, v = 
Тогда по формуле (1) находим
= lnx( = - 
+ 
= - - 
+ С
2.
Решение. Полагая =
= 
найдем du =
,
v = 
= 
Следовательно,
= =
3. 
Решение. Пусть = 
, 
= 
du =
, v =
По формуле (1) находим
= 
- 
(
К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям.
Положим =
, = 
du =, v = и, следовательно, - 
= 
Подставляя найденное выражение в соотношение (, получим
= 
(
4. 
Положим =
=
, откуда du = 
, v = 
Используя формулу (1), находим
=
= 
- х + 
5. 
Решение. Пусть = 
; тогда du = - 
v = - 
Согласно формуле (1) имеем
I = = = - . (
К последнему интегралу снова применяем интегрирование по частям. Полагая = 
, находим du = - v = 
и, следовательно, 
=
Подставляя полученное выражение в соотношение (
приходим к уравнению с неизвестным интегралом I:
I = = - 
- 
– I,
Из которого находим
I = - 
(
Примеры для самостоятельного решения
Вычислите интегралы, используя метод интегрирования по частям:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Контроль знаний обучающихся:
проверить практическую работу;
Требования к оформлению практической работы:
Задание должно быть выполнено в тетради для практических работ
Работу сдать после занятия
